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Enseñando a enseñar matemáticas

La percepcion general acerca de las matemáticas es que son difíciles y que los matemáticos no hacen mucho por hacerlas más sencillas para la gente común. Mas aún, hay quien piensa que los matemáticos hacemos la matemática más difícil de lo que debiese ser. La mayor parte de la gente piensa que es el trabajo de los matemáticos enseñar matemáticas a todos los niveles y que evidentemente no estamos haciendo bien nuestro trabajo.

Por: Luis David García Puente*

 

La percepcion general acerca de las matemáticas es que son difíciles y que los matemáticos no hacen mucho por hacerlas más sencillas para la  gente común. Mas aún, hay quien piensa que los matemáticos hacemos la matemática más difícil de lo que debiese ser.

La mayor parte de la gente piensa que es el trabajo de los matemáticos enseñar matemáticas a todos los niveles y que evidentemente no estamos haciendo bien nuestro trabajo. En realidad, la mayoría de los matemáticos trabajan en investigación o en  enseñanza a nivel de licenciatura o posgrado. Pocos son los que se dedican a la enseñanza a  niveles básicos o a la investigación acerca de la enseñanza de las  matemáticas a esos niveles.

Una gran dificultad en la enseñanza de las matemáticas es que como ciencia la matemática es muy diferente a cualquier otra área. En biología, física y otras ramas de la ciencia las teorías son en gran medida experimentales. La aceptación de teorías nuevas está basada en la validez de los experimentos, en la habilidad de replicarlos y que  los resultados no contradigan teorías previas que son aceptadas como verdaderas.

En matemáticas, por el contrario, las teorías no están basadas en experimentos por lo cual deben estar fundamentadas con pruebas rigurosas. El trabajo de toda una vida puede ser derrumbado si una premisa es incorrecta, como es el caso del trabajo de el matemático alemán Frege que escribió dos volúmenes dando los fundamentos lógicos  de la aritmética, tan sólo para ver su teoría demolida por el filósofo y matemático inglés Bertrand Russell quien le escribe una carta a Frege explicando la famosa Paradoja de Russell que en su forma más común pregunta: En un pueblo donde el único barbero afeita a aquellos que no se afeitan por si mismos, quién afeita al barbero?

La historia se vuelve aún más interesante cuando después de que Russell escribe tres volúmenes llamados "Principia Mathematica"  tratando de alcanzar la misma meta de Fregue, el matematico húngaro Kurt Gödel demuestra que no existe un sistema axiomático consistente  que sea lo suficientemente poderoso para poder describir la teoríaa de  la aritmética. Esto no quiere decir que todo el trabajo de Fregue y Russell está mal. Tan sólo no sirve su propósito. En matemáticas, la intuición va mano a mano con el rigor y sin este no hay avance completo.

Es este rigor lo que hace que la mayoría de la gente pierda el interés en matemáticas. Pues si para manejar uno tuviera que aprender todos los detalles del porqué los coches funcionan, habría mucho menos gente manejando.

En este mismo espacio de La Jornada en la Ciencia el señor Francisco Arencibia-Albite comenta, como respuesta al comentario escrito por Omar Rojas, que "los matemáticos enmascaran lo evidente en busca de la erudicion de unos pocos". Como ejemplo de este fenómeno propone preguntarle a un matemático la razón por la cual no se pueden contar los números en una línea recta (es decir los números reales). Francisco comenta que un matemático respondería que el argumento es muy difícil de entender. Sin  embargo, el da su propio argumento que puede resumirse en el hecho de que si uno empieza en el cero, no existe "el siguiente" numero real positivo pues dado cualquier número positivo siempre existe otro más pequeño. Este argumento es simple, intuitivo y correcto. Pero no demuestra que los números reales son incontables. Pues el mismo argumento puede aplicarse a los números racionales (los de forma p/q donde p y q son enteros y q no es cero) para probar que estos también son incontables. Pero esto ultimo es falso. De hecho los números racionales pueden ser contados, es decir, hay tantos números racionales como números enteros, lo cual es sorprendente. Esta es la noción correcta de contar cuando lo que uno esta contando es un conjunto infinito: la noción de una relación  inyectiva entre los números enteros y cualquier otro conjunto infinito.

Lo difícil es explicar que significa eso de "relacion inyectiva". La primera vez que traté de enseñar este concepto fallé miserablemente. Pero después se me vino a la mente el siguiente escenario: Supongamos que Paquito de 2 años le gustan tanto los gansitos como las galletas y que tenemos dos gansitos y tres galletas. Cómo le hace Paquito para saber que hay más galletas que gansitos? Suponiendo que Paquito no sabe contar. Una de mis estudiantes contestó: Pues Paquito pone un gansito junto a una galleta y luego otro gansito junto a otra galleta y luego ya no hay más gansitos para la galleta restante por lo que debe haber más galletas, a lo que respondí: Ese es precisamente el concepto de relación injectiva, o en este caso de una relación que no es injectiva.

El arte de divulgar las matemáticas  consiste en buscar una forma de explicar un resultado complicado de manera intuitiva pero rigurosa de tal manera que lo que digamos sea sencillo de entender, pero a la misma vez apegado enteramente a la verdad.

 

*Assistant Profesor. Department Of Mathematics and Statistics. Sam Houston State University

 


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